本論文主要是應用([14])中的一般定理 , 來導出某些特定算子的收斂速度 . 在此目的建立之前該具備的條件是：正線性算子 Ln 須具有某些良好的性質 , 也就是 Lnf 在其微分 r 次後 , 仍需要保有良好的形式 . 然而 ,以運用本論文所使用的方法來說：關於正線性算子 Ln , 我們在定義其廣義的算子 Lr,nf , r=0,1,2,…時 , 需要在 Lnf 微分 r 次後 , 仍保有相當完美的一般形式 ,如 Bnf , Bn 為 Baskakov 算子 (參閱引理3.9) , 但這完美的形式 , 不是每一個正線性算子都具的 ; 也就是說 , 並不是所有正線性算子 Ln 都可以很容易用 Lnf 的第 r 階導數來逼近 f (次數為 | t | 的m次方之函數) 的第 r 階導數 . 因為有些正線性算子 Ln , 其關於 Lnf 的第 r 階導數 , 並不太容易可以化簡成較好的一般形式 , 如 Picard 算子 Pn , 以致於只能夠對某些正線性算子考慮其 Lnf 逼近 f 的問題 .
在第二節裡,我們將介紹([14])中對lim n[Ln(f,x)－f(x)] 的估計及
n→∞
|Ln(f,x)－f(x)| 的逐點收斂性質所得到的一般結果 . 為參考及引用方便 , 並考慮到完整性 , 我們仍將改良精簡後的證明列入本文 . 在第三節裡 , 我們將應用一般定理於以下五種近似算子 , 以導出它們個別的近似收斂速度之估計 . (1)廣義的 Post-Widder 算子 Pr,n；(2) 廣義的Baskakov 算子 Br,n；(3) 廣義的 Baskakov-Kantorovitch 算子 Vr,n；(4) Phillips 算子 Hn；(5) Picard 算子 Pn .

[1]G.D.Bai and S.Y.Shaw,Approximation of function of bounded variation via positive linear operators,in"Trends in Probability and Related Analysis"(N.Kono and N-R.Shieh,Eds),pp.191-202,World Scientific,Singapore,1999.
[2]S.N.Bernstein,Demons tration du theoreme de Weierstrass fondee sur le calcul de probablites,Comm.Kharkov Math.Soc.13(1912),1-2.
[3]H.Bohman,On approximation of continuous and of analytic function,Ark.Math.2(1952),43-56.
[4]Z.Ditzian,V.Totik,Moduli of Smoothness,Springer-Verlag,New York/Berlin,1987.
[5]R.P.Feinerman,D.J.Newman,Polynomial approximation,Waverly press,Inc.,1974.
[6]S.S.Guo and M.K.Khan,On the rate of convergence of some operators on functions of bounded variation,J.Approx.Theory 58(1989),90-101.
[7]L.C.Hsu,Approximation of non-bounded continuous functions by certain sequences of linear positive operators of polynomials,Studia Math.21(1961),37-43.
[8]P.P.Korovkin,On convergence of linear positive operators in the space of continuous functions,Doki.Akad.Nauk SSSR,90(1953),961-964.(In Russion)
[9]P.P.Korovkin,Linear operators and approximation theory,Hindustan,Delhi,1960.
[10]S.Y.Shaw,Approximation of unbounded functions and applications to representation of semigroups,J.Approx.Theory 28(1980),238-259.
[11]O.Shisha,B.Mond,The degree of convergence of sequences of linear positive operators,Proc.Nat.Acad.Soc.60(1968),1196-1200.
[12]S.P.Singh,On the degree of approximation by Szasz operators,Bull.Austral.Math.Soc.Vol.24(1981),221-225.
[13]K.Weierstrass,Uber die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkurlicher Funktionen einer reellen Varanderlichen,Sitzungsber.Akad.Berlin(1885),633-639,789-805.
[14]沈燈賢,關於正線性近似算子的研究,中央大學數學研究所碩士論文,民國76年.