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研究生： 梁坤善
Kun-Shan Liang
論文名稱： 在二維空間上使用三角形元素的 p-version 有限元素法程式設計
The design of two-dimensional p-version finite element method using triangular element by C++
指導教授： 吳維漢
Wei-Han Wu
口試委員:
學位類別： 碩士
Master
系所名稱： 理學院 - 數學系
Department of Mathematics
畢業學年度： 96
語文別： 中文
論文頁數： 48
中文關鍵詞： Hierarchical shape function 、Jacobi Polynomials 、weak formulation 、有限元素法 、p-version 有限元素法
外文關鍵詞： finite element method, hierarchical shape function, Jacobi Polynomials, weak formulation, p-version finite element method
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    • 在本論文中，我們使用 C++ 程式語言設計一個二維空間上的 p-version 有限元素法程式，在此設計中，我們使用三角形元素計算以下偏微分方程的數值解
    sum^{n}_{l=1} { - bigtriangledown cdot (A^{kl} bigtriangledown u_{l}) + B^{kl} cdot bigtriangledown u_{l}+ C^{kl} u_{l} - bigtriangledown cdot (D^{kl} u_{l}) } = f^{k} , k = 1 cdots n
    這裡 $n$ 是變數的個數，$k$ 表示第幾條方程式
    本論文將詳細說明程式架構與所使用的 hierarchical shape function

    In this paper, we design two-dimensional p-version finite element using triangular elements by C++. In design, we solve the following partial differential equations by using triangular elements
    sum^{n}_{l=1} { - bigtriangledown cdot (A^{kl} bigtriangledown u_{l}) + B^{kl} cdot bigtriangledown u_{l}+ C^{kl} u_{l} - bigtriangledown cdot (D^{kl} u_{l}) } = f^{k} , k = 1 cdots n
    where n is the number of variables, k stands for the number of equations, so we have n equations.
    This paper will show the struct of program and hierarchical shape function.

    中文摘要. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 英文摘要. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 目錄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 圖目錄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 1 背景知識. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 C++物件導向程式設計. . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 有限元素法基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 p-version有限元素法. . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Shape Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Shape function 基本概念與特性. . . . . . . . . . . 7 2.2 Hierarchical Shape Function for Triangle . . . . . 7 2.2.1 Jacobi polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.2 Hierarchical shape function for triangle. . . . . 8 3 程式的類別架構與運作流程. . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1 類別架構. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.1 Mesh 類別. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1.2 Element 類別. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.3 FEM Solver 類別. . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1.4 Boudnary Condition 類別. . . . . . . . . . . . . 25 3.1.5 Coe 類別. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.6 Algorithm 類別. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.7 Shape Function 2D 類別. . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 程式的運作流程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4 程式測試. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.1 Linear mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.1 單變數問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.2 單變數問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Quadratic mesh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2.1 單變數問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2.2 多變數問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5 範例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.1 Time independent Stokes equation. . . . . . . . . . 43 5.2 Time independent Navier-Stokes equation . . . . . . 45 6 結論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 參考文獻. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    [1]Linda M. Northrop, 物件導向的軟體發展,
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    Department of Mathematics, National Central University, Taiwan, library note
    [3]子由　著，深度學習C++(第二版) 博碩發行，2006
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    [6]Matthew H. Austern 著, 黃俊堯 & 侯捷 譯, 泛型程式設計與STL(Generic programming and the STL), 碁峰, 2001
    [7]Eric B. Becker, Graham F. Carey, & J. Tinsley Oden, FINITE ELEMENTS An Introduction, Prentice-Hall, USA, 1981
    [8]Barna Szabo and Ivo Babuska, Finite Element Analysis , A Wiley-Interscience Publication, New York, 1991
    [9]http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_polynomials
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    [11]徐玉榮，在二維空間上使用矩形元素的p-version有限元素法程式設計，中央大學數學系碩士論文，2008

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