$$B_n(f,x):=sumlimits_{k=0}^{n}f(frac{k}{n})P_{n,k}(x), f in C[0,1],$$
其中
$$P_{n,k}(x):=pmatrix n k endpmatrix x^{k}(1-x)^{n-k} quad ext{而且} quad pmatrix n k endpmatrix :=frac{n(n-1)cdots (n-k+1)}{k!}.$$
我們在附錄[9]中, 已經知道某些修正的 $Bernstein$ 算子在有界區間
$[0,1), (0,1],$ 和 $(0,1),$ 上作用在無界函數上的估計. 我們在區間
$I$ 上定義, 對於 $min N,$
$$C_m(I):=left{fin C(I);|f(t)|leq A+B(frac{1}{t})^m+C(frac{1}{1-t})^m quad ext{對於} quad 0 其中 $ A, B,$ 和 $C,$ 為正的常數. 為了方便起見, 我們定義
$C_{m,0}:=C_m(0,1],$ $C_{m,1}:=C_m[0,1)$, 和 $C_{m}:=C_m(0,1).$
在這篇論文中, 對於這三個區間, 我們將使用兩種不同的修正的
$Bernstein$ 算子來探討在這區間上作用在無界函數上的估計. 在 $[0,1)$
中, 這第一個算子是
$$B_{n,1}^{*}(f,x):=sumlimits_{k=0}^{n-1}pmatrix n k endpmatrix x^{k}(1-x)^{n-k}f(frac{k}{n}) quad ext{對於} quad fin C_{m,1},$$
而第二個算子是
$$B_{n,1,l}^{**}(f,x):=sumlimits_{k=0}^{n}pmatrix n k endpmatrix x^{k}(1-x)^{n-k}f(frac{k}{n+l})quad ext{對於} quad lin N ext{和} fin C_{m,1}.$$
在第二章中, 我們將知道它們都收斂到 $f(x).$[見引理 2.1 的上方和定理 2.5].
我們對於估計的收斂速度也是感興趣的. 為了估計收斂速度,
我們從[6]中提供一個對於正線性算子收斂速度的估計的通用定理.
在第三章中,
我們將敘述這個定理而且給予一些在有界區間上作用在無界函數的算子.
至於在無界區間上作用在無界函數的算子將在第四章介紹.
在第五章和第六章中, 我們將考慮兩個修正 $Bernstein$
算子的導數的收斂和兩個
oindent $Bernstein$ 算子導數的修正的收斂. 在
$[0,1)$ 中, 這第一個算子是對於 $fin C_{m,1}, jin N,$
ewpage
$$B_{n,1}^{(j)*}(f,x):=prodlimits_{h=0}^{j-1}(n-h)sumlimits_{k=0}^{n-j-1}Delta^{j}
f(frac{k}{n})P_{n-j,k}(x),$$
而第二個算子是對於 $fin C_{m,1}, jin N,$ and $lin
Ncupleft{0
ight},$
$$B_{n,1,l}^{(j)**}(f,x):=prodlimits_{h=0}^{j-1}(n-h)sumlimits_{k=0}^{n-j}Delta_{n,l}^{j}
f(frac{k}{n+l})P_{n-j,k}(x),$$ 而這算子
$Delta$ 和 $Delta_{n,l}$ 是在第五章所定義的. 而且, 它們都收斂到
$f^j(x).$ [見定理 5.1.6 和定理 6.1.7].
在第五章和第六章中, 我們也探討兩個修正的 $Kantorovitch$
算子的估計, 定義為
$$K_{n,1}^{*}(f,x):=(n+1)sumlimits_{k=0}^{n-1}(int_{frac{k}{n+1}}^{frac{k+1}{n+1}} f(t),dt)P_{n,k}(x)quad hbox{對於} nin N ext{和} fin C_{m,1},$$
和
$$K_{n,1}^{**}(f,x):=(n+2)sumlimits_{k=0}^{n}(int_{frac{k}{n+2}}^{frac{k+1}{n+2}} f(t),dt)P_{n,k}(x)quad hbox{對於} nin Ncup left{0
ight} ext{和} fin C_{m,1}.$$
這原本的 $Kantorovitch$ 算子是
$$K_n(f,x):=(n+1)sumlimits_{k=0}^{n}(int_{frac{k}{n+1}}^{frac{k+1}{n+1}}
f(t),dt)P_{n,k}(x).$$ 而且, 我們知道 $K_{n,1}^{*}(f,x)$ 和
$K_{n,1}^{**}(f,x)$ 都收斂到 $f(x).$ [見命題 5.3.1 和命題 6.3.1].
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centerline { f References }
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oindent[1] H. H. Gonska, On approximation of continuously differentiable functions by positive linear
operators, {it Bull. Austral. Math. Soc.} { f 27} (1983), 73-81.
oindent[2] M. E. H. Ismail and C. P. May, On a family of approximation operators, {it J. Math. Anal. Appl.} { f 63} (1978), 446-462
oindent[3] G.G.Lorentz, Bernstein polynomials [M]. Toronto: Univ Toronto Press, 1953.
oindent[4] B. Mond, On the degree of approximation by linear positive operators, {it J. Approx. Theory} { f 18}
(1976), 304-306.
oindent[5] Sen-Yen Shaw, Approximation of unbounded functions and applications to representations of
semigroups, {it J. Approx. Theory} { f 28} (1980), 238-259.
oindent[6] Sen-Yen Shaw and Cheh-Chih Yeh, Rates for approximation of unbounded functions by
positive operators. {it J. Approx. Theory } { f 57} (1989), 278-292.
oindent[7] O.Shisha and B. Mond, The degree of convergence of sequences of linear positive operators,
{it Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.} { f 60} (1968), 1196-1200.
oindent[8] S. P. Singh and O. P. Varshney, A note on convergence of linear positive operators,
{it J. Approx.}
{it Theory} { f 39} (1983), 386-388.
oindent[9] ZHAO, Yi. WANG, Jian-li, Modified Bernstein operators and some conclusions.
{it Journal of}
{it Zhejiang University(Sciences Edition)}(1999),{ f 26 (3)}:01~05