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| 研究生： |
陳威澔 Wei-Hao Chen |
|---|---|
| 論文名稱： |
TensoriaCalc - 處理偽黎曼張量分析問題的使用者導向Mathematica套件 TensoriaCalc, an user-oriented Mathematica package to tackle semi-Riemannian tensor calculus problems |
| 指導教授： |
瞿怡仁
Yi-Zen Chu |
| 口試委員: | |
| 學位類別： |
碩士 Master |
| 系所名稱： |
理學院 - 物理學系 Department of Physics |
| 論文出版年： | 2023 |
| 畢業學年度： | 111 |
| 語文別： | 英文 |
| 論文頁數： | 324 |
| 中文關鍵詞： | TensoriaCalc 、張量微積分 、廣義相對論 、Mathematica套件 、微分幾何 |
| 外文關鍵詞： | TensoriaCalc, tensor calculus, General Relativity, Mathematica package, Differential Geometry |
| 相關次數： | 點閱：15 下載：0 |
| 分享至: |
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TensoriaCalc是一個使用者導向的Mathematica套件，首先是由我的導師瞿怡仁所建構的，並且由我顯著地擴展套件。經由使用者提供度量張量以及坐標系，可以快速算出重要的幾何張量如克里斯多福符號、愛因斯坦張量等，微分幾何及張量分析中的常見運算如: 張量收縮、座標轉換、投影、偏導數、協變導數、外微分、李導數亦是可使用的功能。在本文中，我將解釋TensoriaCalc的基本運作及使用方式，並展示新添加的功能與建構的思路。最後，我將呈現如何使用TensoriaCalc來計算數個廣義相對論及微分幾何中經典的問題。
TensoriaCalc is an user-oriented Mathematica package developed to tackle tensor calculus problems. By giving a metric tensor and the coordinate set, the users can rapidly obtain tensor components of geometric objects such as Christoffel symbols, Einstein tensors, etc. Operations in tensor calculus and differential geometry, such as contraction, coordinate transformation, projection, partial derivative, covariant derivative, exterior derivative, Lie derivative, etc., are also available. In this paper, I will explain the basic structure of this package, firstly constructed by Yi-Zen Chu and significantly expanded by me. Also, the track of thought of my newly added functionality or structure will be presented. Eventually, I will show how to use TensoriaCalc to calculate several classic problems in General Relativity and Differential Geometry.
1 Introduction 1
1.1 Development History and Advantage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Development History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Advantage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Installation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Basic Structure and Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Tensor Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Format . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Geometrical Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Ricci, and the first glimpse of TensorComponents . . . . . . . . . 12
RicciScalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Einstein, and the first glimpse of TensorIsZero . . . . . . . . . . 13
Story: Vacuum Solutions of Einstein field equations . . . . . . . . 14
Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 NonMetricTensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.4 Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
PartialD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
CovariantD and the first glimpse of CovariantHodgeDual . . . . 22
1.3.5 Tensor Manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Einstein summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
TensorsProduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Evaluating abstract indices at specific coordinates/values . . . . 32
MoveIndices, RaiseAllIndices and LowerAllIndices . . . . . . . 33
SwapIndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Function Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
UniqueIndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.6 Geodesic related object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
GeodesicSystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
GeodesicLagrangians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
GeodesicHamiltonianDynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Advanced Functionality 47
2.0.1 Declare Inverse Metric with Quadratic form . . . . . . . . . . . . 47
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.0.2 OrthonormalFrameField and transformation into orthonormal
basis through MoveIndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
orthonormal basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.0.3 Second strategy of calculating OrthonormalFrameField and
EigenSystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.0.4 Series expansion on OrthonormalFrameField . . . . . . . . . . . 66
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.0.5 TooltipStyle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.0.6 TooltipDisplay→TensorComponents . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.0.7 Extract Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
The first benefit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
The second benefit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
The third benefit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.0.8 Endow Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.0.9 PartialD now become more flexible . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.0.10 Partial Derivative with specific coordinate or variable (PD) . . . . 82
2.0.11 ∇g = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.0.12 CovariantBox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.0.13 Auxiliary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Declare NonMetricTensor in ExpressionForm withWedge . . . 85
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
WedgeProductExpand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
ToTensorComponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Declare NonMetricTensor in ExpressionForm with ⊗ or symmetric
objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
ToExpressionForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.0.14 CoordinateTransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
CoordinateTransformation into a new coordinateset, but share
with same symbol and meaning . . . . . . . . . . . . . . 93
CoordinateTransformation into a new coordinate, but share with
symbols and meanings, to deal with ExpressionForm . 103
CoordinateTransformation into a new coordinate set, with different
symbols and meanings . . . . . . . . . . . . . . . 104
CoordinateTransformation into a new coordinate, with different
symbols and meanings, to deal with ExpressionForm . 107
CoordinateTransformation for Christoffel . . . . . . . . . . . . . 108
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
code and usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Projection into (hyper)surface: Induced Tensor other than Christoffel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Indices in orthonormal basis won’t be transformed . . . . . . . . 115
Development History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.0.15 TensorEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.0.16 LieDerivative and LieBracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Killing tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Development History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.0.17 TensorSymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.0.18 SymmetrizeIndices and AntiSymmetrizeIndices . . . . . . . . . 126
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.0.19 ExteriorD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.0.20 PotentialForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.0.21 LeviCivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Development History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.0.22 CovariantHodgeDual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Development History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.0.23 TensorWedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.0.24 SymmetrizedArray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.0.25 Declare NonMetricTensor with SymmetrizedArray or
SparseArray TensorComponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.0.26 Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.0.27 InteriorProduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.0.28 MetricOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.0.29 TensorAssumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.0.30 TensorOperator and TensorIsZeroOperator . . . . . . . . . . . . 155
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2.0.31 TensorDivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.0.32 SphericalHarmonicYTensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.0.33 VectorSphericalHarmonic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.0.34 OperatorDistributeOverPlus and OperatorProductRule . . . . . 163
Development History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2.0.35 TensorsProduct, TensorComponents and Operators’ Rules . . . 169
2.0.36 Declare scalar as Tensor after operation . . . . . . . . . . . . . . . 180
2.0.37 Conjugate for Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
2.0.38 TensorComponentsManipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
2.0.39 error Message . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
2.0.40 ElectromagneticStressEnergyTensor . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3 Stories in Physics 189
3.1 Story: Symmetry in S2-SO(3) symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.2 Story: Vector calculus in spherical coordinates in orthonormal basis . . . 198
3.3 Story: Maxwell’s equations: From 3D vector calculus to 4D tensor calculus
in the differential form language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.4 Story: Kerr-Newman black hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.4.1 Kerr–Newman metric is an solution of Einstein-Maxwell equations208
3.4.2 Constants of Motion of a free-falling particle around
Kerr–Newman black hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
3.5 Story: Linearized gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
3.5.1 Newtonian gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
3.5.2 Gravitoelectromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
3.6 Story: de Sitter spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
3.6.1 FLRW metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
3.6.2 de Sitter metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Einstein field equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
de Sitter spacetime is conformally flat . . . . . . . . . . . . . . . . 245
de Sitter spacetime is maximally symmetric . . . . . . . . . . . . . 248
3.7 Story: Scalar and Vector Basis and more on S2 . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3.7.1 scalar basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3.7.2 vector basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3.7.3 coordinate systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
3.7.4 Ladder operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
3.7.5 EigenSystem of Spherical Harmonic . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
3.7.6 EigenSystem of Vector Spherical Harmonic . . . . . . . . . . . . . 258
3.7.7 Plot of Vector Spherical Harmonic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
3.8 Story: Conformal Invariance
Maxwell’s Equations in 4D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
3.9 Story: More example on CoordinateTransformation . . . . . . . . . . . . 269
3.9.1 Monopole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
3.9.2 Coordinate Systems of Kerr black hole . . . . . . . . . . . . . . . . 272
3.9.3 r + SD−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
3.10 Story: 3D Weyl Tensor is Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
4 Exercises in Schutz 281
4.0.1 Exercise 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
4.0.2 Frobenius’ theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
4.0.3 Exercise 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
4.0.4 Local exactness of closed form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
4.0.5 ExteriorD and LieDerivative commute . . . . . . . . . . . . . . . 286
4.0.6 Exercise 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
4.0.7 Exercise 4.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
4.0.8 Exercise 4.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
4.0.9 Exercise 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
5 Appendix 293
5.0.1 Appendix A: FullForm of a 2-Sphere Metric . . . . . . . . . . . . 293
5.0.2 Appendix B: FullForm of a Faraday Tensor declared by Non-
MetricTensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
5.0.3 Appendix C: Solve Hamilton-Jacobi equation of particles around
the Kerr–Newman black hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
5.0.4 Appendix D: orthogonality of SphericalHarmonicY . . . . . . . . 296
5.0.5 List of available Functions in TensoriaCalc . . . . . . . . . . . . . . 296
5.0.6 List of Tensor properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
5.0.7 List of TensorTypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.0.8 List of OptionValues of Functions and their default values . . . . 298
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